题目内容
【题目】已知椭圆
：
的左右焦点分别为
、
，其短轴的两个端点分别为
，
，若
；是边长为2的等边三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点
且斜率为
的直线交椭圆于
，
两点，在
轴上是否存在定点
，使得直线
，
的斜率乘积为定值，若存在，求出定点，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在；定点
或
【解析】
（1）根据已知可得
，即可求出椭圆
的方程；
（2）假设满足条件的定点存在，设为
，设直线
的方程为
，与椭圆方程联立，设
，
，得到
关系，再由
，利用关系，化简为
关系式，利用其为定值则不含
项，进而得到关于
的方程，求解即可.
（1）因为
是边长为2的等边三角形，
所以
，解得
，
，所以
所以椭圆的方程为.
（2）依题意直线斜率存在，设直线的方程为，
，
由
整理得
当
时，得
，
设存在定点满足题意，则
.
由
得
，
，
当时
，当时
；
故存在满足题意的定点或.
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【题目】在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区100名患者的相关信息，得到如下表格：
潜伏期（单位：天） |
|
|
|
|
|
|
|
人数 | 85 | 205 | 310 | 250 | 130 | 15 | 5 |
（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数
（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；
潜伏期 | 潜伏期 | 总计 | |
50岁以上（含50岁） | 100 | ||
50岁以下 | 55 | ||
总计 | 200 |
附：
| 0.05 | 0.025 | 0.010 |
| 3.841 | 5.024 | 6.635 |
，其中
．
