Question

已知函数f(x)=lnx-

ax2

2

+(a-1)x-

3

2a

，其中a＞-1且a≠0．
（Ⅰ） 当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ） 若函数f（x）有两个相异的零点x₁，x₂．
（i） 求实数a的取值范围．
（ii） 求证：x₁+x₂＞2．

Answer 1

分析：（I）先求出函数f（x）的导函数f′（x），由a＞0，x＞0，得-ax-1＜0，进而得到函数的单调区间；
（II）（i）令f′（x）=0，求出函数的临界点，再对a进行分类讨论，结合（I）的结果判断出函数的单调性，进行得出函数的极值，根据单调性和题意确定极值的符号，分别求出a的范围，最后要求它们的并集；
（ii）先证明下列不等式：当a＞3时，对任意的x∈（0，1），f（2-x）＞f（x）令g（x）=f（2-x）-f（x），g′(x)=

-2(x-1)2

x(2-x)

＜0，则g（x）在（0，1]单调递减，由此及彼入手，能够证明x₁+x₂＞2．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

(x-1)(-ax-1)

x

由于a＞0，x＞0，得-ax-1＜0，
∴f（x）的单调递增区间为（0，1]，单调递减区间为[1，+∞）．
（Ⅱ）f′(x)=

(x-1)(-ax-1)

x

，x＞0，令f′（x）=0，解得x=1，或x =-

1

a

，
（i）当a＞0时，f（x）在（0，1]单调递增，[1，+∞）单调递减．
∴f（1）＞0，即f(1)=

(a-3)(a+1)

2a

＞0，∴a＞3
当-1＜a＜0时，-

1

a

＞1，
∴f（x）在（0，1]单调递增，在[1，-

1

a

]单调递减，在[-

1

a

，+∞)单调递增，
要使的f（x）在（0，+∞）上有两个相异零点，
则f(-

1

a

)=0，此时方程无解．                         
综上所得，实数a的范围为（3，+∞）
（ii）先证明下列不等式：当a＞3时，对任意的x∈（0，1），f（2-x）＞f（x）
令g（x）=f（2-x）-f（x），g′(x)=

-2(x-1)2

x(2-x)

＜0，
则g（x）在（0，1]单调递减，
又∵g（1）=0，∴g（x）＞g（1）=0，
即对任意的x∈（0，1），f（2-x）＞f（x）
由（i）得函数f（x）的两个零点x₁，x₂（不妨设x₁＜x₂），满足0＜x₁＜1＜x₂，
故0=f（x₂）=f（x₁）＜f（2-x₁）
由于x₂＞1，2-x₁＞1，又由（i）得f（x）在（1，+∞）上单调递减，从而x₂＞2-x₁
即x₁+x₂＞2．

点评：本题主要考查了函数导数与单调性、零点以及不等式的问题，主要是利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查计算能力和分析问题的能力，以及分类讨论思想．