Question

在数1与100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这（n+2）个数的乘积记作T_n，再令a_n=lgT_n，n≥1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记bn=

an

2n

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（I）设这个等比数列为{c_n}，则c₁=1，cn+2=qn+1=100，由此利用等比数列的性质和等差数列的前n项和公式能推导出这n+2个数的乘积T_n=10ⁿ⁺²，从而能求出数列{a_n}的通项公式．
（II）由a_n=n+2，得到bn=

an

2n

=

n+2

2n

，由此利用错位相减法能求出S_n．

解答：解：（I）∵在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，
∴设这个等比数列为{c_n}，则c₁=1，cn+2=qn+1=100，
又∵这n+2个数的乘积计作T_n，
∴T_n=q•q²•q³×…×qⁿ⁺¹
=q^1+2+3+…+n•qⁿ⁺¹
=q

n

2

(n+1)×100
=100 

n

2

×100
=10ⁿ⁺²，
又∵a_n=lgT_n，
∴a_n=lg10ⁿ⁺²=n+2，n∈N^*．
（II）∵a_n=n+2，
∴bn=

an

2n

=

n+2

2n

，
∴S_n=

3

2

+

4

22

+

5

23

+…+

n+1

2n-1

+

n+2

2n

，①

1

2

Sn=

3

22

+

4

23

+

5

24

+…+

n+2

2n+1

，②
①-②，得：

1

2

Sn=

3

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n+2

2n+1

=1+

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n+2

2n+1

=2-

1

2n

-

n+2

2n+1

，
∴S_n=4-

n+4

2n

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．