Question

【题目】如图，四棱锥中，侧面是边长为2的等边三角形且垂直于底面，，，是的中点.

（1）求证：直线平面；

（2）点在棱上，且二面角的余弦值为，求直线与底面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）取中点，连结，，根据三角形中位线的性质，得出，，结合条件，可证出四边形为平行四边形，得出，最后根据线面平行的判定定理，即可证明直线平面；

（2）建立空间直角坐标系，设，则可得，由图可知底面法向量，根据空间向量法求出平面的法向量，利用已知的二面角余弦值，求出，得出点坐标，再利用空间向量求线面角的公式，求出直线与底面所成角的正弦值.

解：证明：（1）取中点，连结，，

因为为的中点，所以，，

由，得，

又，所以,//，

则四边形为平行四边形，有，

又平面，平面，故平面.

（2）

由已知得，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

，，

设，则可得，

设平面的一个法向量为，

则，即，

取，则，

又易知底面的一个法向量为，

由于二面角的余弦值为，

∴，

∴，解得或（舍去），

∴，∴，

则，

∴直线与底面所成角的正弦值为.