Question

设函数f（x）=ax+lnx，g（x）=a²x²；
（1）当a=-1时，求函数y=f（x）图象上的点到直线x-y+3=0距离的最小值；
（2）是否存在正实数a，使得不等式f（x）≤g（x）对一切正实数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）平移直线x-y+3=0当它与函数y=f（x）图象相切时，切点即为函数y=f（x）图象上到直线x-y+3=0距离最小的点，此时切线的斜率等于函数y=f（x）在切点处的导数，故求切点坐标可以根据导函数值等于1入手．
（2）若不等式f（x）≤g（x）对一切正实数x都成立，我们可以构造函数F（x）=f（x）-g（x）将其转化为函数恒成立问题，然后根据导函数求出F（x）的最大值，根据F（x）≤0恒成立?F（x）的最大值≤0进行求解．

解答：解：（1）由f（x）=-x+lnx，得f′(x)=-1+

1

x

，令f'（x）=1，得x=

1

2

∴所求距离的最小值即为P(

1

2

，f(

1

2

))到直线x-y+3=0的距离
d=

| 1 2 -(- 1 2 -ln2)+3|

2

=

1

2

(4+ln2)

2

（2）假设存在正数a，令F（x）=f（x）-g（x）（x＞0），则F（x）_max≤0
由F′(x)=a+

1

x

-2a2x=0得x=

1

a

∵x＞

1

a

时，F′（x）＜0，
∴F（x）为减函数；
当0＜x＜

1

a

时，F′（x）＞0，
∴F（x）为增函数
∴F(x)max=F(

1

a

)
∴ln

1

a

≤0即a≥1
所以a的取值范围是[1，+∞）

点评：（1）用导数解应用题求最值的一般方法是：求导，令导数等于零；求y′=0的根，求出极值点；最后写出解答．（2）在有关极值应用的问题中，绝大多数在所讨论的区间上函数只有一点使得f′（x）=0，且在两侧f′（x）的符号各异，一般称为单峰问题，此时该点就是极值点，也是最值点．