Question

已知数列{a_n}满足a_n+1=2a_n-1，a₁=3，
（Ⅰ）求证：数列{a_n-1}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式和前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意有a_n+1-1=2a_n-2可得，

an+1-1

an-1

=2，从而可得数列{a_n-1}是等比数列
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a_n=2ⁿ+1，利用分组求和及等差数列的前n项目和公式可求

解答：解：（Ⅰ）依题意有a_n+1-1=2a_n-2且a₁-1=2，
所以

an+1-1

an-1

=2
所以数列{a_n-1}是等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n-1=（a₁-1）2^n-1，
即a_n-1=2ⁿ，所以a_n=2ⁿ+1
而S_n=a₁+a₂+…+a_n=（2+1）+（2²+1）+（2²+1）+…+（2ⁿ+1）=（2+2²+2²+…+2ⁿ）+n=

2(1-2n)

1-2

+n=2ⁿ⁺¹-2+n．

点评：本题主要考查了利用构造的方法证明等比数列，要注意该方法的应用，还考查了等比数列的前n项和公式的应用．