Question

设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x²+bx+c=0实根的个数（重根按一个计）．
（I）求方程x²+bx+c=0有实根的概率；
（II）求ξ的分布列和数学期望；
（III）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x²+bx+c=0有实根的概率．

Answer 1

分析：（I）由题意知，本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的基本事件总数为6×6，满足条件的事件是使方程有实根，则△=b²-4c≥0，对于c的取值进行列举，得到事件数，根据概率公式得到结果．
（II）由题意知用随机变量ξ表示方程x²+bx+c=0实根的个数得到ξ的可能取值0，1，2根据第一问做出的结果写出变量对应的概率，写出分布列和期望．
（III）在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x²+bx+c=0有实根，这是一个条件概率，做出先后两次出现的点数中有5的概率和先后两次出现的点数中有5的条件下且方程x²+bx+c=0有实根的概率，根据条件概率的公式得到结果．

解答：解：（I）由题意知，本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的基本事件总数为6×6=36，
满足条件的事件是使方程有实根，则△=b²-4c≥0，即b≥2

c

．
下面针对于c的取值进行讨论
当c=1时，b=2，3，4，5，6；
当c=2时，b=3，4，5，6；
当c=3时，b=4，5，6；
当c=4时，b=4，5，6；
当c=5时，b=5，6；
当c=6时，b=5，6，
目标事件个数为5+4+3+3+2+2=19，
因此方程x²+bx+c=0有实根的概率为

19

36

.

（II）由题意知用随机变量ξ表示方程x²+bx+c=0实根的个数得到ξ=0，1，2
根据第一问做出的结果得到
则P(ξ=0)=

17

36

，P(ξ=1)=

2

36

=

1

18

，P(ξ=2)=

17

36

，
∴ξ的分布列为

∴ξ的数学期望Eξ=0×

17

36

+1×

1

18

+2×

17

36

=1.

（III）在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x²+bx+c=0有实根，
这是一个条件概率，
记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，
“方程ax²+bx+c=0有实根”为事件N，
则P(M)=

11

36

，P(MN)=

7

36

，
∴P(N|M)=

P(MN)

P(M)

=

7

11

．

点评：本题考查等可能事件的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，考查条件概率，是一个综合题，本题是一个中档题，注意运算结果不要出错．