题目内容
设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数（重根按一个计）．（1）求方程x2+bx+c=0有实根的概率；
（2）（理）求ξ的分布列和数学期望
（文）求P（ξ=1）的值
（3）（理）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2+bx+c=0有实根的概率．
分析：（1）根据题意可得基本事件总数为6×6=36，若使方程有实根，则△=b2-4c≥0，即b≥2
，再利用列举的方法求出目标事件个数，进而得到答案．
（2）（理）由（1）可得ξ=0，1，2，则 P(ξ=0)=
，P(ξ=1)=
=
，P(ξ=2)=
，进而得到分布列与数学期望．
（文）由（1）可得ξ=1及方程只有一个根情况所包含的基本时间数，进而求出其发生的概率．
（3）计算出“先后两次出现的点数中有5”的概率与“先后两次出现的点数中有5并且方程x2+bx+c=0有实根”的概率，进而利用条件概率的公式可得答案．
| c |
（2）（理）由（1）可得ξ=0，1，2，则 P(ξ=0)=
| 17 |
| 36 |
| 2 |
| 36 |
| 1 |
| 18 |
| 17 |
| 36 |
（文）由（1）可得ξ=1及方程只有一个根情况所包含的基本时间数，进而求出其发生的概率．
（3）计算出“先后两次出现的点数中有5”的概率与“先后两次出现的点数中有5并且方程x2+bx+c=0有实根”的概率，进而利用条件概率的公式可得答案．
解答：解：（1）基本事件总数为6×6=36，
若使方程有实根，则△=b2-4c≥0，即b≥2
．
当c=1时，b=2，3，4，5，6；
当c=2时，b=3，4，5，6；
当c=3时，b=4，5，6；
当c=4时，b=4，5，6；
当c=5时，b=5，6；
当c=6时，b=5，6，
目标事件个数为5+4+3+3+2+2=19，
因此方程x2+bx+c=0有实根的概率为
．
（2）（理）由题意知，ξ=0，1，2，则 P(ξ=0)=
，P(ξ=1)=
=
，P(ξ=2)=
，
故ξ的分布列为
ξ的数学期望Eξ=0×
+1×
+2×
=1．
（文）P(ξ=1)=
=
．
（3）记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，“方程ax2+bx+c=0有实根”为事件N，
则P(M)=
，P(MN)=
，P(N|M)=
=
．
若使方程有实根，则△=b2-4c≥0，即b≥2
| c |
当c=1时，b=2，3，4，5，6；
当c=2时，b=3，4，5，6；
当c=3时，b=4，5，6；
当c=4时，b=4，5，6；
当c=5时，b=5，6；
当c=6时，b=5，6，
目标事件个数为5+4+3+3+2+2=19，
因此方程x2+bx+c=0有实根的概率为
| 19 |
| 36 |
（2）（理）由题意知，ξ=0，1，2，则 P(ξ=0)=
| 17 |
| 36 |
| 2 |
| 36 |
| 1 |
| 18 |
| 17 |
| 36 |
故ξ的分布列为
| 0 | 1 | 2 | |
P |
| 17 |
| 36 |
| 1 |
| 18 |
| 17 |
| 36 |
（文）P(ξ=1)=
| 2 |
| 36 |
| 1 |
| 18 |
（3）记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，“方程ax2+bx+c=0有实根”为事件N，
则P(M)=
| 11 |
| 36 |
| 7 |
| 36 |
| P(MN) |
| P(M) |
| 7 |
| 11 |
点评：本题主要考查离散型随机变量的分布列与期望，以及条件概率的公式．
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