Question

16．设方程x²+ax+b-2=0，在（-∞，-2）∪[2，+∞）上有实根，则a²+b²的取值范围[4，+∞）．

Answer 1

分析 先表示出方程的根，结合题意得到a²-4b+8≥16，令a²=t-b²代入通过b表示出t，结合二次函数的性质从而求出t的范围即可．

解答 解：由题意得：△=a²-4（b-2）≥0，
∴x₁=$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-4（b-2）}}{2}$＜-2①，
x₂=$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-4（b-2）}}{2}$≥2②，
①式可化为：$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4（b-2）}}{2}$＞2③，
②+③得：
$\sqrt{{a}^{2}-4（b-2）}$≥4，
∴a²-4b+8≥16④，
令t=a²+b²，则a²=t-b²⑤，
将⑤代入④得：
t-b²-4b+8≥16，
∴t≥b²+4b+8=（b+2）²+4≥4，
故答案为：[4，+∞）．

点评 本题考查了二次函数的性质，先得到关于a，b的不等式，令a²=t-b²代入通过b表示出t是解答本题的关键，本题是一道基础题．