Question

从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图，从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图、从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图
已知一四棱锥P-ABCD的三视图如下，E是侧棱PC上的动点．
（Ⅰ）求四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅱ）不论点E在何位置，是否都有BD⊥AE？证明你的结论；
（Ⅲ）若E点为PC的中点，求二面角D-AE-B的大小．

Answer 1

分析：（I）由三视图知PC⊥面ABCD，即高PC=2，且底面为正方形，边长为1，利用锥体体积公式计算即可．
（II）由于PC⊥BD，且BD⊥AC，所以不论点E在何位置，都有BD⊥面ACE，从而都有BD⊥AE．
 （III）法一，连接AC，交BD于O．由对称性，二面角D-AE-B是二面角O-AE-B的2倍，利用射影面积法求出二面角O-AE-B的平面角后，问题获解
法二，以C为坐标原点，CD所在直线为x轴建立空间直角坐标系．求出平面ADE和平面ABE的法向量，利用向量的方法求出二面角D-AE-B的大小．

解答：解：（I）由三视图知PC⊥面ABCD，
ABCD为正方形，
且PC=2，AB=BC=1（2分）
∴V_P-ABCD=

1

3

•S_ABCD×PC=

1

3

•1²•2=

2

3

  （1分）
（II）∵PC⊥面ABCD，BD?面ABCD
∴PC⊥BD …（1分）
而BD⊥AC，AC∩AE=A，
∴BD⊥面ACE，…（1分）
而AE?面ACE
∴BD⊥AE  （1分）
（III）法一：连接AC，交BD于O．由对称性，二面角D-AE-B是二面角O-AE-B的2倍，设θ为二面角O-AE-B的平面角． 
注意到B在面ACE上的射影为O
S△_AOE=

1

2

 S△_ACE=

1

2

×

1

2

×

2

=

2

4

．
S△_ABE=

1

2

AB•BE=

1

2

•1•

12+12

=

2

2

，（2分）
∴cosθ=

S△AOE

S△ABE

=

1

2

∴θ=60°
∴二面角D-AE-B是120°（2分）
法二：以C为坐标原点，CD所在直线为x轴建立空间直角坐标系
则D（1，0，0），A（1，1，0），B（0，1，0），E（0，0，1），
从而

DE

=（-1，0，1），

DA

=（0，1，0），

BA

=（1，0，0），

BE

=（0，-1，1）（2分）
设平面ADE和平面ABE的法向量分别为

n1

=（x₁，y₁，z₁），

n2

=（x₂，y₂，z₂）
则-x₁+z₁=0，y₁=0
x₂=0，-y₂+z₂=0
令z₁=1，z₂=-1，则

n1

=（ （1，0，1），

n2

=（0，-1，-1）（2分）
设二面角D-AE-B的平面角为θ，则|cosθ|=

| n1 •  n2  |

| n1 | ×| n2|

=

1

2 × 2

=

1

2

．
二面角D-AE-B为钝二面角．∴二面角D-AE-B的大小为

2π

3

．（2分）

点评：本题考查几何体的三视图及直观图，线面垂直关系的判定，二面角的大小度量．考查考查了空间想象能力、计算能力，分析解决问题能力．空间问题平面化是解决空间几何体问题最主要的思想方法．