Question

已知函数f（x）=ax²+（2a-1）x-3在区间[-

3

2

，2]上的最大值为1，求实数a的值．

Answer 1

a=0时，f（x）=-x-3，f（x）在[-

3

2

，2]上不能取得1，
故a≠0，则f（x）=ax²+（2a-1）x-3（a≠0）的对称轴方程为x₀=

1-2a

2a

，
①令f(-

3

2

)=1，解得a=-

10

3

，
此时x₀=-

23

20

∈[-

3

2

，2]，
∵a＜0，∴f（x₀）最大，所以f(-

3

2

)=1不合适；
②令f（2）=1，解得a=

3

4

，
此时x₀=-

1

3

∈[-

3

2

，2]
因为a=

3

4

＞0，x0=-

1

3

∈[-

3

2

，2]且距右端2较远，所以f（2）最大合适；
③令f（x₀）=1，得a=

1

2

(-3±2

2

)，经验证a=

1

2

(-3-2

2

)
综上，a=

3

4

或a=

1

2

(-3-2

2

)．