Question

已知奇函数f(x)在（-∞,0）∪（0，+∞）上有意义，且在（0,+∞）上是增函数，f(1)=0,又有函数g(θ)=sin²θ+mcosθ-2m,θ∈［0,］，若集合M={m|g（θ）＜0}，集合N={m|f［g（θ）］＜0}.

（1）求f(x)＜0的解集.

（2）求M∩N.

Answer 1

解：（1）∵f(x)为奇函数且f(1)=0，

∴f(-1)=-f(-1)=0.

又f(x)在（0，+∞）上是增函数，

∴f（x）在（－∞，0）上也是增函数.

故f（x）＜0的解集为{x|x＜-1或0＜x＜1},

（2）由（1）知N={m|g（θ）＜-1或0＜g(θ)＜1},

∴M∩N={m|g(θ)＜-1}.

由g(θ)＜-1得（2-cosθ）m＞2-cos²θ,

即m＞=4-［（2-cosθ）+］.

∵θ∈［0, ］，  ∴2-cosθ∈［1,2］.

∴(2-cosθ)+ ≥，等号成立时cosθ=2-.

故4－［(2-cosθ)+ ］的最大值是4-.

从而m＞4-，即M∩N={m|m＞4-}.