Question

 

已知点，直线，动点到点的距离等于它到直线的距离.

（Ⅰ）试判断点的轨迹的形状，并写出其方程.

（Ⅱ）是否存在过的直线，使得直线被截得的弦恰好被点所平分？

 

Answer 1

【答案】

 本小题考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．满分13分．

解：（Ⅰ）因点到点的距离等于它到直线的距离，所以点的轨迹是以为焦点、直线为准线的抛物线，   ………………2分

其方程为.              ………………5分

（Ⅱ）解法一：假设存在满足题设的直线.设直线与轨迹交于，

依题意，得.  ………………6分

①当直线的斜率不存在时，不合题意.  ………………7分

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，………8分

联立方程组，

消去，得，（*）   ………………9分

∴，解得.    ………………10分

此时，方程（*）为，其判别式大于零，  ………………11分

∴存在满足题设的直线　　　　　　　　　　     ………………12分

且直线的方程为：即.  　　 ………………13分

解法二：假设存在满足题设的直线.设直线与轨迹交于，

依题意，得.  ………………6分

易判断直线不可能垂直轴，  ………………7分

∴设直线的方程为，………8分

联立方程组，

消去，得，  ………………9分

∵,

 ∴直线与轨迹必相交. ………………10分

又，∴.    ………………11分

∴存在满足题设的直线　　　　　     ………………12分

且直线的方程为：即.   ………………13分

解法三：假设存在满足题设的直线.设直线与轨迹交于，

依题意，得.  ………………6分

∵在轨迹上，

∴有，将，得. ………8分

当时，弦的中点不是，不合题意，  ………9分

∴，即直线的斜率,  ………10分

注意到点在曲线的张口内（或：经检验，直线与轨迹相交）…11分

∴存在满足题设的直线　   ………………12分

且直线的方程为：即.   ………………13分