Question

对于数列{a_n}，若存在一个常数M，使得对任意的n∈N^*，都有|a_n|≤M，则称{a_n}为有界数列．
（Ⅰ）判断a_n=2+sinn是否为有界数列并说明理由．
（Ⅱ）是否存在正项等比数列{a_n}，使得{a_n}的前n项和S_n构成的数列{S_n}是有界数列？若存在，求数列{a_n}的公比q的取值范围；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）判断数列是否为有界数列，并证明．

Answer 1

解：（Ⅰ）1≤a_n=2+sinn≤3，
故{a_n}为有界数列…（2分）
（Ⅱ）设公比为q，当0＜q＜1时，，
则正数数列{S_n}满足，即为有界数列；
当q=1时，S_n=na₁→+∞，故为无界数列；
当q＞1时，S_n=a₁+a₂+…+a_n＞na₁→+∞，此时为无界数列．
综上：当且仅当0＜q＜1时，{S_n}为有界数列…（6分）．
（Ⅲ）{a_n}为无界数列，事实上
∴
∴=
∴
故当n无限增大时a_n也无限增大，
所以{a_n}无界…（12分）．
分析：（Ⅰ）求a_n=2+sinn的值域为1≤a_n=2+sinn≤3，根据有界数列的定义可以判断；
（Ⅱ）对公比q进行讨论，当0＜q＜1时，，易知正数数列{S_n}满足，即为有界数列；当q=1时，S_n=na₁→+∞，故为无界数列；当q＞1时，S_n=a₁+a₂+…+a_n＞na₁→+∞，此时为无界数列，从而得结论．
（Ⅲ）{a_n}为无界数列，利用放缩法，转换为利用等比数列求和可证．
点评：本题以数列为载体，考查新定义，关键是理解新定义，对等比数列应注意求和公式的使用条件．