Question

13．求数列$\frac{1}{{1}^{2}+2}$，$\frac{1}{{2}^{2}+4}$，$\frac{1}{{3}^{2}+6}$，$\frac{1}{{4}^{2}+8}$，…，$\frac{1}{{n}^{2}+2n}$的前n项和．

Answer 1

分析 直接利用裂项相消法求数列的前n项和．

解答 解：∵$\frac{1}{{n}^{2}+2n}$=$\frac{1}{n（n+2）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴S_n=$\frac{1}{{1}^{2}+2}$+$\frac{1}{{2}^{2}+4}$+$\frac{1}{{3}^{2}+6}$+$\frac{1}{{4}^{2}+8}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}+2n}$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

点评 本题考查了裂项相消法求数列的前n项和，关键是注意剩余项，是基础的计算题．