Question

已知函数f(x)=loga

x+1

x-1

．
（Ⅰ）求f（x）的定义域；
（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性并证明；
（Ⅲ）求不等式f（x）＞0的解集．

Answer 1

分析：（I）由

x+1

x-1

＞0能够得到原函数的定义域．
（II）求出f（-x）和f（x）进行比较，二者互为相反数，所以F（x）是奇函数．
（III）由f（x）＞0，即loga

1+x

x-1

＞0．分类讨论：当a＞1时；当0＜a＜1时，分别求解，最后综合即得．

解答：解：（I）∵

1+x

x-1

＞0∴{，

1+x＞0 x-1＞0

或{，

1+x＜0 x-1＜0

，∴定义域为x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）．（4分）
（II）∵f(-x)=loga

x-1

1+x

=-loga

x+1

x-1

=-f(x)，∴f（x）为奇函数．
（III）f（x）＞0，即loga

1+x

x-1

＞0．当a＞1时，

1+x

x-1

＞1，∴x＞1；
当0＜a＜1时，0＜

1+x

x-1

＜1，∴x＜-1；
∴当a＞1时，x∈（1，+∞）；当0＜a＜1时，∴x∈（-∞，-1）．

点评：本题考查对数函数的定义域、对数函数的性质和应用，解题时要注意对数函数的不等式．