Question

已知函数f(x)=sin2ωx+

3

sinωxsin(ωx+

π

2

)(ω＞0)的最小正周期为π
（1）求f（x）；
（2）当x∈[-

π

12

，

π

2

]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式进行化简整理，然后利用正弦函数的最小正周期求得ω，则函数解析式可得．
（2）根据x的范围可确定2x-

π

6

的范围，进而根据正弦函数的单调性求得函数的最大值和最小值，则函数的值域可得．

解答：解：（1）f(x)=

1-cos2ωx

2

+

3

sinωxcosωx=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx+

1

2

=sin(2ωx-

π

6

)+

1

2

．
∵函数f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，
∴

2π

2ω

=π，解得ω=1．
∴f(x)=sin(2x-

π

6

)+

1

2

．
（2）∵x∈[-

π

12

，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]．
根据正弦函数的图象可得：
当2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

时，g(x)=sin(2x-

π

6

)取最大值1
当2x-

π

6

=-

π

3

，即x=-

π

12

时g(x)=sin(2x-

π

6

)取最小值-

3

2

．
∴

1

2

-

3

2

≤sin(2x-

π

6

)+

1

2

≤

3

2

，即f（x）的值域为[

1- 3

2

，

3

2

]．

点评：本题主要考查了二倍角公式，两角和公式，正函数的周期性，单调性等问题．考查了学生运用所学知识解决实际的能力．