题目内容

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1= $数学公式$ （n∈N^*）
（1）证明：数列{ $数学公式$ }为等差数列，并求{a_n}的通项公式
（2）如果数列{ $数学公式$ }的前n项和为S_n，求S_n．

（1）证明：∵a_n+1= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1
∵a₁=1，
∴数列{ $\text{[math]}$ }是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴ $\text{[math]}$ =n，∴a_n= $\text{[math]}$ ；
（2）解： $\text{[math]}$ =n•2ⁿ
∴S_n=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ①
∴2S_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹②
①-②可得-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹= $\text{[math]}$ -n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹•2ⁿ⁺¹-2
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
分析：（1）a_n+1= $\text{[math]}$ 可化为 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1，即可得到数列{ $\text{[math]}$ }为等差数列，从而可求{a_n}的通项公式；
（2）确定数列的通项，利用错位相减法，可求数列的和．
点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项与求和，确定数列的通项是关键．