Question

如图，已知过点D（-2，0）的直线l与椭圆+y²=1交于不同的两点A、B，点M是弦AB的中点
（Ⅰ）若=+，求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）求||的取值范围

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）当直线与x轴平行时，求得点P的坐标；设出直线l的方程及A，B，M，P的坐标，椭圆方程联立消去x，根据判别式大于0求得m的范围，进而根据韦达定理表示出y=y₁+y₂和x=x₁+x₂，进而联立消去m，即可求得P点的轨迹方程．
（Ⅱ）先看当l∥x轴时，A，B分别是椭圆长轴的两个端点，则点M在原点O处，求得|MD|，|MA|进而求得||的值；再看与x轴不平行时，根据弦长公式求得|MD|和|MA|的表达式，进而求得||的表达式，根据m的范围确定||的取值范围，最后综合可得答案．
解答：解：（Ⅰ）①若直线l∥x轴，则点P为（0，0）；
②设直线l：x=my-2，
并设点A，B，M，P的坐标分别是A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），P（x，y），
由消去x，得（m²+2）y²-4my+2=0，①
由直线l与椭圆有两个不同的交点，可得△=（-4m）²-8（m²+2）＞0，即8（m²-2）＞0，所以m²＞2
由=+及方程①，得y=y₁+y₂=，
x=x₁+x₂=（my₁-2）+（my₂-2）=-，
即
由于m≠0（否则，直线l与椭圆无公共点），
将上方程组两式相除得，m=-，代入到方程x=-，
得x=-，整理，得x²+2y²+4x=0（-2＜x＜0）
综上所述，点P的轨迹方程为x²+2y²+4x=0（-2＜x＜0）

（Ⅱ）①当l∥x轴时，A，B分别是椭圆长轴的两个端点，则点M在原点O处，
所以，|MD|=2，|MA|=，所以，=
②由方程①，得y==，
|MD|=|y-y_D|=
|MA|=|=|y-y₁|==|=
==
m²＞2，-∈（1，0），∈（0，1），∈[，+∞）
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的交点问题．常需要把直线与圆锥曲线的方程联立，利用韦达定理找打解决问题的突破扣．