Question

已知函数f（x）=2

x

-

1

x

．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明当x＞1时，2

x

＞3-

1

x

．

Answer 1

分析：（1）已知函数f（x）=2

x

-

1

x

，注意定义域x＞0，对其进行求导，判断f′（x）与0的关系，从而进行求解；
（2）由（1）可知x＞1，f（x）为增函数，可得f（x）＞f（1），代入即可证明；

解答：解：（1）∵函数f（x）=2

x

-

1

x

定义域为x＞0，
f′（x）=

1

x

-

1

x2

，由f′（x）＜0，得0＜x＜1，f（x）在（0，1）上单调递减，
由f′（x）＞0，可得x＞1，f（x）在（1，+∞）上单调递增；
（2）由（1）可知，当x＞1时，f（x）单调递增，
∴f（x）＞f（1）=3，可得2

x

-

1

x

＞3，可得2

x

＞3-

1

x

；

点评：此题主要考查利用导数研究函数的单调区间，以及利用导数研究函数的最值问题，此题是一道基础题；