Question

5．一个圆锥的底面半径为2cm，高为4cm，其中有一个高为xcm的内接圆柱：
（1）求圆锥的侧面积；
（2）当x为何值时，圆柱侧面积最大？并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意，求出圆锥的母线长，即可求圆锥的侧面积；
（2）根据轴截面和比例关系列出方程，求出圆柱的底面半径，表示出圆柱的侧面积，根据二次函数的性质求出侧面面积的最大值．

解答 解：（1）圆锥的母线长$l=\sqrt{{R^2}+{h^2}}=\sqrt{{2^2}+{4^2}}=2\sqrt{5}$
∴圆锥侧面积S₁=πRl=4$\sqrt{5}$cm²；（6分）
（2）设内接圆柱的底面半径为r，由图形特征知，$\frac{x}{4}=\frac{2-r}{2}$，∴x=4-2r（8分）
圆柱侧面积S=2πrx=2r（4-2r）π=（-4r²+8r）π=-4（r-1）²π+4π（cm²）
∴r=1，即x=2时，圆柱的侧面积最大，最大为4πcm²．（14分）

点评 本题的考点是棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积，关键是利用轴截面，求出长度之间的关系式，表示出面积后利用函数的思想求出最值，考查了数形结合思想和函数思想．