题目内容

如图，已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为3的正方形，侧棱AA₁长为4，且AA₁与A₁B₁，A₁D₁的夹角都是60°，则AC₁的长等于

A.
10
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

C
分析：直接根据向量的加法把所求问题分解，再平方计算出模长的平方，进而求出结论．
解答：

解：因为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ；
∴（ $\text{[math]}$ ）²=（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）²
=（ $\text{[math]}$ ）²+（ $\text{[math]}$ ）²+（ $\text{[math]}$ ）²+2 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$
=4²+3²+3²+2×4×3cos120°+2×4×3cos120°+2×3×3cos90°
=10．
∴AC₁= $\text{[math]}$
故选C．
点评：本题主要考查棱柱的结构特征以及两点间的距离计算．注意在利用两直线的夹角求向量夹角时，注意方向性，避免出错．

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（1）求证：BN⊥AB₁；
（2）求四棱锥A-MB₁C₁C与三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积比．

（2007•无锡二模）如图，已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=A₁B=2CD，侧面A₁ADD₁为正方形．
（1）求直线A₁A与底面ABCD所成角的大小；
（2）求二面角C-A₁B-A正切值的大小；
（3）在棱C₁C上是否存在一点P，使得 D₁P∥平面A₁BC，若存在，试说明点P的位置；若不存在，请说明理由．

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