Question

【题目】设整数，对置于个点及点处的卡片作如下操作：操作：若某个点处的卡片数不少于3，则可从中取出三张，在三点、、处各放一张；操作：若点处的卡片数不少于，则可从中取出张，在个点处各放一张。证明：只要放置于这个点处的卡片总数不少于，则总能通过若干次操作，使得每个点处的卡片数均不少于。

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

仅对卡片总数等于证明即可。否则，若放在题设个点处的卡片总数多于，则可以从中随便拿掉一些，使卡片总数恰为。

1.先把个点处的卡片数均调整到不少于。

若某个点处的卡片数不少于3张，则实施操作，每一次这样的操作均使得点处的卡片数增加1，经过若干次操作后，便不能再实施操作，此时，每个点处的卡片数至多2张，点处的卡片数至少张；再对点连续实施次操作，使得每个点处的卡片数至少有张。

2.保证每个点处的卡片数不少于张，经历一些操作，使得点处的卡片数增加至张。

ⅰ.团与好团。

把个点理解为以为圆心的圆周上顺次均匀分布的个点，定义相邻点集（；规定为一个团；若一个团的每个点均经历一次操作之后，各点处的卡片数均不少于，则称之为好团。

ⅱ.好团的特征

记点处的卡片数为，则。

1个点的团是好团的充分必要条件为；

2个点的团是好团的充分必要条件为、；

个点的团是好团的充分必要条件为，且；

个点的团是好团的充分必要条件为。

ⅲ.当点处的卡片数少于时，必存在好团。

假设此时不存在好团。

则，且。

记满足的点的个数分别为。

则。

下面证明：。

因为不是好团，所以，存在。

假设。则满足的个点在圆周上没有两点相邻（否则会出现两个点的好团），且每两个这样的点之间至少存在一个满足的点（否则会出现的好团），于是，必有。

故，矛盾。

因此，在点处的卡片数少于时，必存在好团。

ⅳ.对好团中每个点实施操作，使得点处的卡片数增加至，且有足够的好团保证。