Question

已知函数f（x）=ax³+

1

2

sinθx²-2x+c的图象经过点(1，

37

6

)，且在区间（-2，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．
（1）证明sinθ=1；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若对于任意的x₁，x₂∈[m，m+3]（m≥0），不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤

45

2

恒成立，试问：这样的m是否存在，若存在，请求出m的范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵f'（x）=3ax²+（sinθ）x-2
由题设可知

f′(1)=0 f′(-2)≤0

即

3a+sinθ-2=0 ① 12a-2sinθ-2≤0②

由①得：a=

2-sinθ

3

，代入②得：12×

2-sinθ

3

-2sinθ-2≤0，
化简得：sinθ≥1，
∴sinθ=1；

（2）将sinθ=1代入①式得：a=

1

3

，则f（x）=

1

3

x³+

1

2

x²-2x+c，
而又由f（1）=

37

6

，代入得c=

22

3

，
∴f（x）=

1

3

x³+

1

2

x²-2x+

22

3

即为所求；

（3）f′（x）=x²+x-2=（x+2）（x-1）
易知f（x）在（-∞，-2）及（1，+∞）上均为增函数，在（-2，1）上为减函数．
（i）当m＞1时，f（x）在[m，m+3]上递增．故f（x）max=f（m+3），f（x）min=f（m）
由f（m+3）-f（m）=

1

3

（m+3）³+

1

2

（m+3）²-2（m+3）-

1

3

m³-

1

2

m²+2m
=3m2+12m+

15

2

≤

45

2

，得-5≤m≤1．这与条件矛盾故舍去；
（ii）当0≤m≤1时，f（x）在[m，1]上递减，在[1，m+3]上递增，
∴f（x）min=f（1），f（x）max={f（m），f（m+3）}max，
又f（m+3）-f（m）=3m²+12m+

15

2

=3（m+2）²-

9

2

＞0（0≤m≤1）
∴f（x）max=f（m+3）
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）max-f（x）min=f（m+3）-f（1）≤f（4）-f（1）=

45

2

恒成立，
故当0≤m≤1原式恒成立．
综上：存在m且m∈[0，1]合乎题意．