Question

已知函数f(x)=2asin2x-2

3

asinx•cosx+b的定义域为[0，

π

2

]，值域为[-5，4]；函数 g（x）=asinx+2bcosx，x∈R．
（1）求函数g（x）的最小正周期和最大值；
（2）当x∈[0，π]，且g（x）=5时，求tan x．

Answer 1

分析：（1）利用 三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为-2a sin（2x+

π

6

）+a+b，分a＞0和a＜0，根据函数的值域分别求出a、b的值，从而求得函数g（x）的最小正周期和最大值．
（2）由上可知当a＞0时，由g（x）=5sin（x+?₁），且tan?₁=-

4

3

，g（x）_max=5，此时x+?₁=2kπ+

π

2

（k∈Z），可得tanx=cot ?₁=-

3

4

．当a＜0时，g（x）_max=

13

＜5，故不存在
符合题意的x．

解答：解：（1）f（x）=a（1-cos2x）-

3

asin2x+b=-a（cos2x+

3

sin2x）+a+b=-2a sin（2x+

π

6

）+a+b．----------（2分）
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

=[

π

6

，

7π

6

]，sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]．显然a=0不合题意．--------（4分）
当a＞0时，值域为[b-a，b+2a]，即

b-a=-5 b+2a=4

∴

a=3 b=-2.

．----------（6分）
当a＜0时，值域为[b+2a，b-a]，即

b-a=4 b+2a=-5

∴

a=-3 b=1.

． （8分）
 当a＞0时，g（x）=3sinx-4cosx=5sin（x+?₁），∴T=2π，g（x）_max=5；
当a＜0时，g（x）=-3sinx+2cosx=-

13

sin（x+?₂），∴T=π，g（x）_max=

13

．------------（10分）
（2）由上可知，
当a＞0时，由g（x）=5sin（x+?₁），且tan?₁=-

4

3

，g（x）_max=5，此时x+?₁=2kπ+

π

2

（k∈Z）．
则x=2kπ+

π

2

-?₁（k∈Z），由于 x∈（0，π），∴tanx=cot ?₁=-

3

4

．（12分）
当a＜0时，g（x）_max=

13

＜5，所以不存在符合题意的x．（13分）
综上，tan x=-

3

4

．-------------------（14分）

点评：本题主要考查正弦函数的定义域和值域，三角函数的恒等变换及化简求值，求出a、b的值，是解题的关键，属于中档题．