Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F₂（3，0），离心率为e=

3

2

．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线经过点P（1，2），与椭圆相交于A，B两点，AB的中点为M，求M的轨迹方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意得c=3，

c

a

=

3

2

，由此可得椭圆的方程；
（Ⅱ）利用点差法，结合直线的斜率，即可求M的轨迹方程．

解答：解：（Ⅰ）由题意得c=3，

c

a

=

3

2

，∴a=2

3

结合a²=b²+c²，解得a²=12，b²=3．
所以，椭圆的方程为

x2

12

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），则

x12

12

+

y12

3

=1，

x22

12

+

y22

3

=1
两方程相减可得

2x(x1-x2)

12

+

2y(y1-y2)

3

=0
∴

y1-y2

x1-x2

=-

x

4y

∵直线经过点P（1，2），
∴-

x

4y

=

y-2

x-1

∴x（x-1）+4y（y-2）=0
即M的轨迹方程为x（x-1）+4y（y-2）=0．

点评：本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用，考查点差法的运用，属于中档题．