Question

在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，sin2A-sin2C=sin2B-

8

5

sinBsinC，a=3，△ABC的面积为6．
（1）角A的正弦值；                
（2）求边b、c．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化简sin2A-sin2C=sin2B-

8

5

sinBsinC得到一个关系式，把关系式变形即可得到cosA的值，根据A的范围即可求出sinA的值；
（2）根据三角形的面积公式表示出△ABC的面积，让面积等于6即可求出bc的值，然后由（1）得到的关系式，将bc，a的值代入即可求出b²+c²的值，与bc的值联立即可求出b和c的值．

解答：解：（1）由sin2A-sin2C=sin2B-

8

5

sinBsinC
得：a2-c2=b2-

8bc

5

，
变形得：

b2+c2-a2

2bc

=

4

5

，即cosA=

4

5

，又A∈（0，π），
则sinA=

1-( 4 5 )2

=

3

5

；
（2）∵S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

bc•

3

5

=6，
∴bc=20，由

b2+c2-a2

2bc

=

4

5

及bc=20与a=3得：b²+c²=41，
联立得：

b2+c2=41 bc=20

，
解得：b=4，c=5或b=5，c=4．

点评：此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，灵活运用同角三角函数间的基本关系及三角形的面积公式化简求值，是一道基础题．