Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=2n²-2n，数列{b_n}的前n项和T_n=3-b_n．
①求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
②设c_n=

1

4

a_n•

1

3

b_n，求数列{c_n}的前n项和R_n的表达式．

Answer 1

①由题意得a_n=S_n-S_n-1=4n-4（n≥2）
而n=1时a₁=S₁=0也符合上式
∴a_n=4n-4（n∈N⁺）
又∵b_n=T_n-T_n-1=b_n-1-b_n，
∴

bn

bn-1

=

1

2

∴{b_n}是公比为

1

2

的等比数列，
而b₁=T₁=3-b₁，
∴b₁=

3

2

，
∴b_n=

3

2

(

1

2

)n-1
=3•(

1

2

)n（n∈N⁺）．
②C_n=

1

4

a_n•

1

3

b_n=

1

4

（4n-4）×

1

3

×3(

1

2

)n
=（n-1）(

1

2

)n，
∴R_n=C₁+C₂+C₃+…+C_n
=(

1

2

)2+2•(

1

2

)3+3•(

1

2

)4+…+（n-1）•(

1

2

)n
∴

1

2

R_n=(

1

2

)3+2•(

1

2

)4+…+（n-2）(

1

2

)n+（n-1）(

1

2

)n+1
∴

1

2

R_n=(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-（n-1）•(

1

2

)n+1，
∴R_n=1-（n+1）(

1

2

)n．