Question

已知函数f（x）=

2

cos(2x-

π

4

)，x∈[-

π

8

，

π

2

]
（1）求函数f（x）的单调区间．
（2）求函数f（x）在区间[-

π

8

，

π

2

]上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值．

Answer 1

分析：（1）x∈[-

π

8

，

π

2

]⇒2x-

π

4

∈[-

π

2

，

3π

4

]，利用余弦函数的单调性即可求得f（x）=

2

cos（2x-

π

4

）的单调区间；
（2）利用（1）f（x）=

2

cos（2x-

π

4

）在区间[-

π

8

，

π

8

]上为增函数，在区间[

π

8

，

π

2

]上为减函数，即可求得其最小值和最大值及取得最值时x的值．

解答：解：（1）∵f（x）=

2

cos（2x-

π

4

），x∈[-

π

8

，

π

2

]，
∴2x-

π

4

∈[-

π

2

，

3π

4

]，
由-

π

2

≤2x-

π

4

≤0得：-

π

8

≤x≤

π

8

，
∴当x∈[-

π

8

，

π

2

]时，函数f（x）的单调递增区间为[-

π

8

，

π

8

]；
由0≤2x-

π

4

≤

3π

4

得，

π

8

≤x≤

π

2

，
∴当x∈[-

π

8

，

π

2

]时，函数f（x）的单调减区间为[

π

8

，

π

2

]；
（2）∵f（x）=

2

cos（2x-

π

4

）在区间[-

π

8

，

π

8

]上为增函数，在区间[

π

8

，

π

2

]上为减函数，
又f(-

π

8

)=0，
f(

π

8

)=

2

，
f(

π

2

)=

2

cos(π-

π

4

)=-

2

cos

π

4

=-1，
∴函数f（x）在区间[-

π

8

，

π

2

]上的最大值为

2

，此时x=

π

8

，最小值为-1，此时x=

π

2

．

点评：本题考查余弦函数的单调性，考查余弦函数的定义域和值域，考查运算能力，属于中档题．