Question

【题目】已知命题：直线与圆有两个交点；命题：.

（1）若为真命题，求实数的取值范围；

（2）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：先求出分别为真命题时的取值范围：对命题，利用圆心到直线的距离小于半径，求得.对命题，利用三角恒等变形公式，将原不等式左边转化为，求得其值域为，故.（1）且真，取与的交集，得；（2）由于“为真命题，为假命题”所以分别求“真假”和“假真”时的取值范围，然后取并集即可.

试题解析：

∵，∴，

所以该圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离．

若为真，则圆心到直线的距离小于半径，即，解得．

若为真，则在上有解，

因为

，又由，得，

所以，

即，故若为真，则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（1）若为真，则应满足，即，

故实数的取值范围为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

（2）若为真命题，为假命题，则一真一假，

若真假，则应满足，

若假真，则应满足

综上所述，实数的取值范围为．．．．．．．．．．．．．．12分