Question

16．已知函数f（x）=x²-（2a+1）x+alnx，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 先求出函数的导数，通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间．

解答 解：∵f（x）=x²-（2a+1）x+alnx，（x＞0），
∴f′（x）=2x-（2a+1）+$\frac{a}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-（2a+1）x+a}{x}$=$\frac{（2x-1）（x-a）}{x}$，
①a≤0时，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{2}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）递减，在（$\frac{1}{2}$，+∞）递增；
②0＜a＜$\frac{1}{2}$时，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{2}$或0＜x＜a，令f′（x）＜0，解得：a＜x＜$\frac{1}{2}$，
∴f（x）在（0，a），（$\frac{1}{2}$，+∞）递增，在（a，$\frac{1}{2}$）递减；
③a=$\frac{1}{2}$时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）单调递增；
④a＞$\frac{1}{2}$时，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$或x＞a，令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{2}$＜x＜a，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$），（a，+∞）递增，在（$\frac{1}{2}$，a）递减．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，考查分类讨论思想，是一道中档题．