Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a_n+S_n=2n．
（Ⅰ）证明：数列{a_n-2}为等比数列，并求出a_n；
（Ⅱ）设b_n=（2-n）（a_n-2），求{b_n}的最大项．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设条件进行变形，整理成等比数列的形式，得证．
（Ⅱ）求出b_n=（2-n）（a_n-2）的通项公式，再作差比较相邻项的大小，即可找出最大项．

解答：解：（Ⅰ）证明：由a₁+s₁=2a₁=2得a₁=1；
由a_n+S_n=2n得
a_n+1+S_n+1=2（n+1）
两式相减得2a_n+1-a_n=2，即2a_n+1-4=a_n-2，即a_n+1-2=

1

2

（a_n-2）
是首项为a₁-2=-1，公比为

1

2

的等比数列．故a_n-2=-(

1

2

)n-1，故a_n=2-(

1

2

)n-1，．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知bn=(2-n)•(-1)•(

1

2

)n-1=(n-2)•(

1

2

)n-1
由bn+1-bn=

n-1

2n

-

n-2

2n-1

=

n-1-2n+4

2n

=

3-n

2n

≥0得n≤3
由b_n+1-b_n＜0得n＞3，所以b₁＜b₂＜b₃=b₄＞b₅＞…＞b_n
故b_n的最大项为b3=b4=

1

4

．

点评：本题考查等比关系的确定以及用作差法求数列的最大项，属于数列中的中档题，有一定的综合性，要求答题者有较好的观察能力及转化化归的能力．