Question

【题目】 已知双曲线的离心率，双曲线上任意一点到其右焦点的最小距离为.

（1）求双曲线的方程.

（2）过点是否存在直线，使直线与双曲线交于两点，且点是线段的中点？若直线存在，请求出直线的方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在,详见解析

【解析】

（1）由题意，得到，联立即得解；

（2）点差法得到直线l的斜率，即直线方程为，代入双曲线的方程联立，验证即可.

解：（1）由离心率，得.①

又双曲线上任意一点到其右焦点的最小距离为，则.②

由①②，解得，则，

∴双曲线的方程为.

（2）假设存在过点的直线，使直线与双曲线交于两点，且点是线段的中点.

设，则有

两式作差，得，即.

又点是线段的中点，则，

∴直线的斜率，

则直线的方程为，即，

代入双曲线的方程，得，

，方程没有实数解.

∴过点不存在直线，使直线与双曲线交于两点，且点是线段的中点.