Question

若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球表面积之比为

 

．

Answer 1

分析：设正三棱柱底面正三角形的边长为a，当球外切于正三棱柱时，球的半径R₁等于正三棱柱的底面正三角形的边心距，求出正三棱柱的高为，当正三棱柱外接球时，球的球心是正三棱柱高的中点，且球的圆心与正三棱柱两个底面正三角形构成两个正三棱锥，求出外接球的半径，即可求出内切球与外接球表面积之比．

解答：解：设正三棱柱底面正三角形的边长为a，
当球外切于正三棱柱时，球的半径R₁等于正三棱柱的底面正三角形的边心距

3

6

a，R₁²=

1

12

a2，
故正三棱柱的高为

2 3

3

a，
当正三棱柱外接球时，球的圆心是正三棱柱高的中点，且球的球心与正三棱柱两个底面正三角形构成两个正三棱锥，R22=(

3

3

a)2+(

3

3

a)2=

2

3

a2，
∴内切球与外接球表面积之比为

1

12

a2：

2

3

a2=1：8．
故答案为：8：1

点评：本题是基础题，考查空间想象能力，分析问题解决问题的能力，是常考题型，求内切球与外接球的半径是本题的关键．