Question

（2013•成都模拟）设函数f（x）=x²+bln（x+1）．
（Ⅰ）若函数y=f（x）在定义域上是单调函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）若b=-1，证明对于任意的n∈N₊，不等式

n

k=1

f(

1

k

)＜1+

1

23

+

1

33

+…+

1

n3

．

Answer 1

分析：（I）根据题意，求导函数，要使f（x）在（-1，+∞）上为单调函数，只须在（-1，+∞）上f′（x）≥0或f′（x）≤0恒成立，分类讨论，分离参数，即可求b的取值范围；
II）b=-1时，f（x）=x²-ln（x+1），构造函数g（x）=f（x）-x³=x²-ln（x+1）-x³，证明g（x）＜g（0）=0，即f（x）＜x³，即可证得结论．

解答：（I）解：求导函数，可得f′(x)=2x+

b

x+1

=

2x2+2x+b

x+1

(x＞-1)
要使f（x）在（-1，+∞）上为单调函数，只须在（-1，+∞）上f′（x）≥0或f′（x）≤0恒成立，
若2x²+2x+b≥0，∴b≥-2(x+

1

2

)2+

1

2

在（-1，+∞）上t=-2(x+

1

2

)2+

1

2

有最大值

1

2

，∴只须b≥

1

2

，则f′（x）≥0
若2x²+2x+b≤0，∴b≤-2(x+

1

2

)2+

1

2

在（-1，+∞）上t=-2(x+

1

2

)2+

1

2

无最小值，故满足f′（x）≤0的b不存在．
由上得出当b≥

1

2

时，f（x）在（-1，+∞）上为单调函数．
（II）b=-1时，f（x）=x²-ln（x+1）．
设g（x）=f（x）-x³=x²-ln（x+1）-x³，g′（x）=-

3x3+(x-1)2

x+1

当x≥0时，g′（x）＜0，∴函数g（x）在（0，+∞）上为减函数
∴当x∈（0，+∞）时，g（x）＜g（0）=0，∴f（x）＜x³．
令x=

1

k

∈（0，+∞），则f(

1

k

)＜

1

k3

∴

n

k=1

f(

1

k

)＜1+

1

23

+

1

33

+…+

1

n3

点评：本题以函数为载体，考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的证明，考查分类讨论思想，属于中档题．