Question

已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点是点（0，

5

），离心率为

6

6

，左、右焦点分别为F₁和F₂．
（1）求椭圆方程；
（2）点M在椭圆上，求△MF₁F₂面积的最大值；
（3）试探究椭圆上是否存在一点P，使

PF1

•

PF2

=0，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意设出椭圆标准方程，根据顶点的坐标和离心率得b=

5

，e=

c

a

=

6

6

，根据a²=b²+c²求出a的值，即求出椭圆标准方程；
（2）根据（1）求出的椭圆标准方程，求出点M纵坐标的范围，即求出三角形面积的最大值；
（3）先假设存在点P满足条件，根据向量的数量积得

PF1

⊥

PF2

，根据椭圆的焦距和椭圆的定义列出两个方程，求出S△PF1F2的值，结合（2）中三角形面积的最大值，判断出是否存在点P．

解答：解：（1）由题意设椭圆标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1．
由已知得，b=

5

，e=

c

a

=

6

6

．（2分）
则e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=1-

b2

a2

，∴1-

5

a2

=

1

6

．解得a²=6（4分）
∴所求椭圆方程为

x2

6

+

y2

5

=1（5分）

（2）令M（x₁，y₁），则S△MF1F2=

1

2

|F1F2|•|y1|=

1

2

•2•|y1|（7分）
∵点M在椭圆上，∴-

5

≤y1≤

5

，故|y₁|的最大值为

5

（8分）
∴当y1=±

5

时，S△MF1F2的最大值为

5

．（9分）

（3）假设存在一点P，使

PF1

•

PF2

=0，
∵

PF1

≠

0

，

PF2

≠

0

，∴

PF1

⊥

PF2

，（10分）
∴△PF₁F₂为直角三角形，∴|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=4 ①（11分）
又∵|PF1|+|PF2|=2a=2

6

 ②（12分）
∴②²-①，得2|PF₁|•|PF₂|=20，∴

1

2

|PF1|•|PF2|=5，（13分）
即S△PF1F2=5，由（1）得S△PF1F2最大值为

5

，故矛盾，
∴不存在一点P，使

PF1

•

PF2

=0．（14分）

点评：本题考查了椭圆方程的求法以及椭圆的性质、向量数量积的几何意义，利用a、b、c、e几何意义和a²=b²+c²求出a和b的值，根据椭圆上点的坐标范围求出相应三角形的面积最值，即根据此范围判断点P是否存在，此题综合性强，涉及的知识多，考查了分析问题和解决问题的能力．