Question

根据下列条件，求圆的方程：
（1）过点A（1，1），B（-1，3）且面积最小；
（2）圆心在直线2x-y-7=0上且与y轴交于点A（0，-4），B（0，-2）．

Answer 1

分析：（1）过A、B两点面积最小的圆即为以线段AB为直径的圆，由A与B的坐标，利用两点间的距离公式求出|B|的长，确定出圆的半径，即可求出面积最小圆的面积；
（2）由圆与y轴交于A与B两点，得到圆心在直线y=-3上，与已知直线联立求出圆心坐标，及圆的半径，写出圆的标准方程即可．

解答：解：（1）过A、B两点且面积最小的圆就是以线段AB为直径的圆，
∴圆心坐标为（0，2），半径r=

1

2

|AB|=

1

2

(-1+1)2+(1-3)2

=

1

2

×

8

=

2

，
∴所求圆的方程为x²+（y-2）²=2；
（2）由圆与y轴交于点A（0，-4），B（0，-2）可知，圆心在直线y=-3上，
由

2x-y-7=0 y=-3

，解得

x=2 y=-3

，
∴圆心坐标为（2，-3），半径r=

5

，
∴所求圆的方程为（x-2）²+（y+3）²=5．

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，以及圆的标准方程，找出圆心坐标与半径是解本题的关键．