Question

若向量a,b,c满足a+b+c=0，且|a|=3,|b|=1,|c|=4,则a·b+b·c+a·c=_____________.

Answer 1

解法一：∵a+b+c=0，∴(a+b+c)²=a²+b²+c²+2a·b+2b·c+2a·c=0,

∴2(a·b+b·c+a·c)=-(a²+b²+c²)=-(|a|²+|b|²+|c|²)=-(3²+1²+4²)=-26.

∴a·b+b·c+a·c=-13.

解法二：根据已知条件可知|c|=|a|+|b|,c=-a-b，所以a与b同向，c与a+b反向.所以有a·b+b·c+a·c=3cos0°+4cos180°+12cos180°=3-4-12=-13.

答案：-13