Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且异面直线A₁B与B₁C₁所成的角等于60°，设AA₁=a．
（1）求a的值；
（2）求直线B₁C₁到平面A₁BC的距离．

Answer 1

分析：（1）由题意可得：∠A₁BC就是异面直线A₁B与B₁C₁所成的角，即∠A₁BC=60°，根据线段的长度关系可得：△A₁BC为等边三角形，即可得到BC=

2

，进而达到a=1．
（2）由B₁C₁∥平面A₁BC，得点D到平面A₁BC的距离等于点B₁到平面A₁BC的距离．再根据VB1-A1BC=VC- A1B1B求B₁到平面A₁BC的距离，分别求出两个三角形的面积即可达到答案．

解答：解：（1）∵BC∥B₁C₁，
∴∠A₁BC就是异面直线A₁B与B₁C₁所成的角，
即∠A₁BC=60°，…（2分）
又连接A₁C，AB=AC，
则A₁B=A₁C，
∴△A₁BC为等边三角形，…（4分）
由AB=AC=1，∠BAC=90°
∴BC=

2

，
∴A1B=

2

⇒

1+a2

=

2

⇒a=1．…（6分）
（2）易知B₁C₁∥平面A₁BC，此时有B₁C₁上的任意一点到平面A₁BC的距离等于点B₁到平面A₁BC的距离．…（8分）
设其为d，连接B₁C，
由VB1-A1BC=VC- A1B1B求d，
又∵CA⊥A₁A，CA⊥AB，
∴CA⊥平面A₁B₁C，并且AC=1，．
因为△A₁B₁B的面积S=

1

2

，并且△A₁BC的面积S′=

3

4

•(

2

)2=

3

2

，…（10分）
所以

1

3

•S•AC=

1

3

•S′•d即d=

3

3

，
所以B₁C₁到平面A₁BC的距离等于

3

3

．…（12分）

点评：本题主要考查空间中的直线与平面的位置关系，以及空间中点、线、面间的距离计算，此题属于中档题型．