Question

已知函数f（x）=sin²x+acosx+a，a∈R．
（1）当a=1时，求函数f（x）的最大值；
（2）如果对于区间[0，

π

2

]上的任意一个x，都有f（x）≤1成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=1时，利用三角函数的公式进行化简，然后求函数f（x）的最大值；
（2）要使都有f（x）≤1成立，则利用三角函数的图象和性质，求函数f（x）在区间[0，

π

2

]上最大值即可．

解答：解：（1）当a=1时，f(x)=-cos2x+cosx+2=-(cosx-

1

2

)2+

9

4

，
∵cosx∈[-1，1]，
∴当cosx=

1

2

，即x=2kπ±

π

3

(k∈Z)时，
[f(x)]max=

9

4

．
（2）依题得 sin²x+acosx+a≤1，
即sin²x+a（cosx+1）≤1对任意x∈[0，

π

2

]恒成立．
而1≤cosx+1≤2，
∴a≤

cos2x

cosx+1

对任意x∈[0，

π

2

]恒成立．
令t=cosx+1，则1≤t≤2，
∴a≤

(t-1)2

t

=

t2-2t+1

t

=t+

1

t

-2对任意1≤t≤2恒成立，
于是a≤(t+

1

t

-2)min．
又∵t+

1

t

-2≥0，当且仅当 t=1，即x=

π

2

时取等号
∴a≤0．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的公式进行化简是解决本题的关键．