Question

若F₁、F₂分别是椭圆的左右焦点，P是该椭圆上的一个动点，且．
（1）求出这个椭圆的方程；
（2）是否存在过定点N（0，2）的直线l与椭圆交于不同两点A、B，使∠AOB=90°（其中0为坐标原点）？若存在，求出直线l的斜率k，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题设知，由此能求出椭圆方程．
（2）设l为y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则，故，，由∠AOB=90°，知，由此能求出求出直线l的斜率k．
解答：解：（1）∵F₁、F₂分别是椭圆的左右焦点，
P是该椭圆上的一个动点，且|PF₁|+|PF₂|=4，|F₁F₂|=2，
∴，
即a=2，c=，∴，
∴椭圆方程为．
（2）当l的斜率不存在时，即x=0不满足题设条件…3
设l为y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则，
∴，
∴，
∵∠AOB=90°，∴，

∴k²=4，k=±2．
点评：本题考查椭圆方程的求法，探索直线的斜率是否存在，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．