Question

已知正方形ABCD的中心在原点，四个顶点都在函数f（x）=ax³+bx（a＞0）图象上．
（1）若正方形的一个顶点为（2，1），求a，b的值，并求出此时函数的单调增区间；
（2）若正方形ABCD唯一确定，试求出b的值．

Answer 1

分析：（1）先依据待定系数法求a，b的值，得函数的解析式，再求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间．
（2）设正方形ABCD对角线AC所在的直线方程为y=kx，则其斜率唯一确定，转化为二元方程只有唯一实数根，利用根的判别式求解即可．

解答：解：（1）因为一个顶点为（2，1），
所以必有另三个顶点（-2，-1），（1，-2），（-1，2），
将（2，1），（1，-2）代入y=ax³+bx，得a=

5

6

，b=-

17

6

．（4分）
所以f(x)=

5

6

x3-

17

6

x．
因为f′(x)=

1

6

(15x2-17)，令f′（x）＞0，得x＞

17 15

或x＜-

17 15

，
所以函数f（x）单调增区间为(- ∞，  -

17 15

)和(

17 15

，  +∞)．（6分）
（2）设正方形ABCD对角线AC所在的直线方程为y=kx（k≠0），
则对角线BD所在的直线方程为y=-

1

k

x．
由

y=kx y=ax3+bx

解得x2=

k-b

a

，
所以AO2=x2+y2=(1+k2)x2=(1+k2)•

k-b

a

，
同理，BO2=[1+(-

1

k

)2]•

- 1 k -b

a

=-

1+k2

k2

•

1 k +b

a

，
又因为AO²=BO²，所以k3-k2b+

1

k

+b=0．（10分）
即k2+

1

k2

-b(k-

1

k

)=0，即(k-

1

k

)2-b(k-

1

k

)+2=0．
令k-

1

k

=t得t²-bt+2=0
因为正方形ABCD唯一确定，则对角线AC与BD唯一确定，于是k-

1

k

值唯一确定，
所以关于t的方程t²-bt+2=0有且只有一个实数根，又k-

1

k

=t∈R．
所以△=b²-8=0，即b=±2

2

．（14分）
因为x2=

k-b

a

＞0，a＞0，所以b＜k；又

- 1 k -b

a

＞0，所以b＜-

1

k

，故b＜0．
因此b=-2

2

；
反过来b=-2

2

时，t=-

2

，k-

1

k

=-

2

，
于是k=

- 2 + 6

2

，-

1

k

=

- 2 - 6

2

；或k=

- 2 - 6

2

，-

1

k

=

- 2 + 6

2

于是正方形ABCD唯一确定．（16分）

点评：本小题主要考查函数的解析式的求法以及导数，单调性，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．