Question

已知f（x）是定义在R上的函数，且满足f（x）+f（x-1）=1，当x∈[0，1]时，f（x）=x²，现有四个命题：
①f（x）是周期函数；且周期为2；②当x∈[1，2]时，f（x）=2x-x²；③f（x）是偶函数；④f(-2004.5)=

3

4

其中正确命题是

 

．

Answer 1

分析：根据周期函数的定义及已知中f（x）+f（x-1）=1恒成立，可判断①真假；根据f（x）+f（x-1）=1，当x∈[0，1]时，f（x）=x²，可判断②的真假；根据偶函数的定义及f（x）+f（x-1）=1，可以判断③真假，根据①②的结论，可以判断④真假．进而得到答案．

解答：解：∵f（x）+f（x-1）=1，
∴f（x+2）+f（x+1）=1，即f（x+2）+[1-f（x）]=1
∴f（x+2）=f（x），故①f（x）是周期函数，且周期为2，正确；
当x∈[1，2]时，x-1∈[0，1]
f（x-1）=1-f（x）=1-（x-1）²，
∴f（x）=2x-x²，故②正确；
当x=

1

2

时，f（

1

2

）=

1

4

，f（-

1

2

）=f（

3

2

）=

3

4

由偶函数的定义，可得③错误；
f（-2004.5）=f（-

1

2

）=f（

3

2

）=

3

4

故④正确；
故答案为：①②④．

点评：本题主要考查函数奇偶性的判断和函数周期性的判断，此题是道基础题，比较简单，熟练掌握奇偶性判断的定义即可．