Question

已知A，B是双曲线

x2

4

-y2=1的两个顶点，点P是双曲线上异于A，B的一点，连接PO（O为坐标原点）交椭圆

x2

4

+y2=1于点Q，如果设直线PA，PB，QA的斜率分别为k₁，k₂，k₃，且k1+k2=-

15

8

，假设k₃＞0，则k₃的值为（　　）

A．1

B． 1 2

C．2

D．4

Answer 1

由双曲线

x2

4

-y2=1可得两个顶点A（-2，0），B（2，0）．设P（x₀，y₀），则

x 20

4

-

y

20

=1，可得

x 20 -4

4

=

y

20

．
∴k_PA+k_PB=

y0

x0+2

+

y0

x0-2

=

2x0y0

x 20 -4

=

x0

y0

．
设Q（x₁，y₁），则

x 21

4

+

y

21

=1，得到

x 21 -4

4

=-

y

21

．
由k_OP=k_OQ得

y0

x0

=

y1

x1

．
∴k_QA+k_QB=

y1

x1+2

+

y1

x1-2

=

2x1y1

x 21 -4

=-

x1

y1

，
∴k_PA+k_PB+k_QA+k_QB=0，
∵kPA+kPB=-

15

8

，∴k_QA+k_QB=

15

8

…①
又k_QA•k_QB=-

b2

a2

=-

1

4

…②
联立①②解得k_QA=2＞0．
故选C．