Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点到右准线的距离为

3

3

，且左焦点与短轴两端点构成正三角形．
（I）求椭圆的方程；
（II）过点C（-1，0）的直线l交椭圆于A、B两点，交直线x=-4于点D，点C分

AB

所成比为λ，点D分

AB

所成比为μ，求λ+μ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据左焦点与短轴两端点构成正三角形．可求得a和b，c的关系，根据右焦点到右准线的距离可求得a和c的关系，进而联立方程组求得a和b，则椭圆方程可得．
（Ⅱ）设出直线l的方程，设A，B，D的坐标，把直线方程与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表达式，根据

AC

=λ

CB

把A，B坐标代入求得λ=-

x1+1

x2+1

同理可求得μ=-

x1+4

x2+4

，进而可求得λ+μ的值．

解答：解：（Ⅰ）由条件得

a2 c -c= 3 3 a=2b c= 3 2 a

解得

a=2 b=1

，
所以椭圆方程是

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）易知直线l斜率k存在，则直线l的方程为y=k（x+1），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（-4，y₀）
由

y=k(x+1) x2 4 +y2=1

得（1+4k²）x²+8k²x+4k²-4=0且△=48k²+16＞0x1+x2=-

8k2

1+4k2

，x1•x2=

4k2-4

1+4k2

∵

AC

=λ

CB

，∴（-1-x₁，-y₁）=λ（x₂+1，y₂）
∴λ=-

x1+1

x2+1

∵

AD

=μ

DB

，∴（-4-x₁，-y₁）=μ（x₂+4，y₂-y₀）
∴μ=-

x1+4

x2+4

∴λ+μ=-

(x1+1)(x2+4)+(x1+4)(x2+1)

(x2+1)(x2+4)

=-

2x1x2+5(x1+x2)+8

(x2+1)(x2+4)

∵x1+x2=-

8k2

1+4k2

，x1•x2=

4k2-4

1+4k2

∴λ+μ=-

8k2-8 1+4k2 - 40k2 1+4k2 +8

(x2+1)(x2+4)

=-

8k2-8-40k2+8+32k2 1+4k2

(x2+1)(x2+4)

=0

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题过程中充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化．