Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n与通项a_n满足Sn=

1

2

-

1

2

an．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设f（x）=log₃x，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），T_n=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

求T₂₀₁₂．

Answer 1

分析：（1）n=1时，a₁=S₁，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，由此可得数列{a_n}是首项为

1

3

，公比为

1

3

的等比数列，故可求数列{a_n}的通项公式；
（2）由已知可得：f（a_n）=-n，则b_n=-

n(n+1)

2

，所以

1

bn

=-2（

1

n

-

1

n+1

）．利用叠加法可求T₂₀₁₂的值．

解答：解：（1）n=1时，a₁=S₁=

1

2

-

1

2

a₁，∴a₁=

1

3

（1分）
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

-

1

2

a_n-

1

2

+

1

2

a _n-1，∴a_n=

1

3

a_n-1，
即数列{a_n}是首项为

1

3

，公比为

1

3

的等比数列                 （3分）
故a_n=（

1

3

）ⁿ                                           （4分）
（2）由已知可得：f（a_n）=-n，则b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）=-1-2-…-n=-

n(n+1)

2

（5分）
∴

1

bn

=-2（

1

n

-

1

n+1

）                                （6分）
∴T_n=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=-2（1-

1

n+1

）
∴T₂₀₁₂=-

4024

2013

（10分）

点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查数列的通项与求和，确定数列的通项，掌握求和的方法是关键．