题目内容

已知抛物线C的方程为x²= $数学公式$ y，过点A（0，-1）和点B（t，3）的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是

A.
（-∞，-1）∪（1，+∞）
B.
（-∞，- $数学公式$ ）∪（ $数学公式$ ，+∞）
C.
（-∞，-2 $数学公式$ ）∪（2 $数学公式$ ，+∞）
D.
（-∞，- $数学公式$ ）∪（ $数学公式$ ，+∞）

D
分析：设过A的直线方程，与抛物线方程联立，根据判别式求得k，求得过A的抛物线的切线与y=3的交点，则当过点A（0，-1）和点B（t，3）的直线与抛物线C没有公共点，进而求得t的范围．
解答：

解：如图，设过A的直线方程为y=kx-1，与抛物线方程联立得x²- $\text{[math]}$ kx+ $\text{[math]}$ =0，
△= $\text{[math]}$ k²-2=0，k=±2 $\text{[math]}$ ，求得过A的抛物线的切线与y=3的交点为（± $\text{[math]}$ ，3），
则当过点A（0，-1）和点B（t，3）的直线与抛物线C没有公共点，
实数t的取值范围是（-∞，- $\text{[math]}$ ）∪（ $\text{[math]}$ ，+∞），
故选D．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法

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