Question

当x＞1时，不等式mx²+mx+1≥x恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A．[3+2

  2

  ，+∞）
• B．（-∞，3+2

  2

  ]
• C．[3-2

  2

  ，+∞）
• D．（-∞，3-2

  2

  ]

Answer 1

分析：不等式mx²+mx+1≥x恒成立可转化成m≥

x-1

x2+x

在（1，+∞）上恒成立，然后利用基本不等式求出

x-1

x2+x

的最大值即可．

解答：解：由不等式mx²+mx+1≥x得m（x²+x）≥x-1，又x²+x＞0，所以有m≥

x-1

x2+x

在（1，+∞）上恒成立，
而

x-1

x2+x

=

1

x2+x x-1

=

1

x+ 2 x-1 +2

=

1

x-1+ 2 x-1 +3

，
∵x-1+

2

x-1

+3≥3+2

2

，当且仅当x=1+

2

时等号成立，即

1

x-1+ 2 x-1 +3

≤

1

3+2 2

=3-2

2

，所以实数m的取值范围是[3-2

2

，+∞）．
故选C．

点评：本题主要考查了恒成立问题，解决这类问题常用参变量分离，研究函数的最值可求出参数的取值范围，解题的关键是利用基本不等式求最值，属于中档题．