题目内容
【题目】已知函数
.
（1）判断并证明函数
的奇偶性；
（2）判断当
时函数
的单调性，并用定义证明；
（3）若
定义域为
，解不等式
.
【答案】（1）奇函数（2）增函数（3）
【解析】试题分析：（1）判断与证明函数的奇偶性，首先要确定函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(-x)与f(x)的关系，如果对定义域上的任意x，都满足f(-x)=f(x)就是偶函数，如果f(-x)=-f(x)就是奇函数，否则是非奇非偶函数。（2）利函数单调性定义证明单调性，按假设，作差，化简，判断，下结论五个步骤。（3）由（1）（2）奇函数
在（-1，1）为单调函数，
原不等式变形为f(2x-1)<-f(x),即f(2x-1)<f(-x),再由函数的单调性及定义（-1，1）求解得x范围。
试题解析：（1）函数
为奇函数．证明如下：
定义域为
又
为奇函数
（2）函数
在（-1，1）为单调函数．证明如下：
任取
，则
， 
即
故
在（-1，1）上为增函数
（3）由（1）、（2）可得
则
解得： 
所以，原不等式的解集为
【点睛】
（1）奇偶性：判断与证明函数的奇偶性，首先要确定函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(-x)与f(x)的关系，如果对定义域上的任意x，都满足f(-x)=f(x)就是偶函数，如果f(-x)=-f(x)就是奇函数，否则是非奇非偶函数。
（2）单调性：利函数单调性定义证明单调性，按假设，作差，化简，定号，下结论五个步骤。
【题型】解答题
【结束】
22
【题目】已知函数
.
（1）若
的定义域和值域均是
，求实数
的值；
（2）若在区间
上是减函数，且对任意的
，都有
，求实数的取值范围；
（3）若
，且对任意的
，都存在
，使得
成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】试题分析：（1）先利用二次函数的性质确定函数
的单调递减区间为
，故在
单调递减，然后由定义域与值域列出等式关系，从而求解即可；（2）由（1）可知
，初步确定
的取值范围
，然后确定
时函数的最大值
，从中求解不等式组
即可；（3）将“对任意的
，都存在
，使得
成立”转化为时，
的值域包含了
在的值域，然后进行分别求
在
的值域，从集合间的包含关系即可求出的取值范围.
试题解析：（1）∵
∴在
上单调递减，又
，∴在
上单调递减，
∴
，∴
，∴4分
（2）∵在区间
上是减函数，∴，∴
∴
，
∴
时，
又∵对任意的，都有
，
∴
，即
，也就是
综上可知8分
（3）∵
在上递增，在上递减，
当
时，
，
∵对任意的，都存在，使得成立
∴
∴
，所以13分
