Question

已知函数f(x)=2sin2x+2

3

sinxcosx+1.求：
（Ⅰ）f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）f（x）在[0，

π

2

]上的最值．

Answer 1

分析：（1）先将函数化简为：f（x）=2sin(2x-

π

6

)+2，根据最小正周期的求法即可得到答案．
（2）根据2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，可求出答案．
（3）根据0≤x≤

π

2

，所以-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

.再由三角函数的单调性可的答案．

解答：解：（Ⅰ）因为f(x)=2sin2x+2

3

sinxcosx+1=1-cos2x+2

3

sinxcosx+1
=

3

sin2x-cos2x+2
=2sin(2x-

π

6

)+2，
所以f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π.
（Ⅱ）因为f(x)=2sin(2x-

π

6

)+2，
所以由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，
得kπ-

π

6

≤2x-

π

3

(k∈Z).
所以f（x）的单调增区间是[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

](k∈Z).
（Ⅲ）因为0≤x≤

π

2

，所以-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

.
所以-

1

2

≤sin(2x-

π

6

)≤1.
所以f(x)=2sin(2x-

π

6

)+2∈[1，4].
即f（x）的最小值为1，最大值为4．

点评：本题主要考查三角函数最小正周期的求法、单调区间的求法以及在限定区间上的三角函数的最值的求法．这种题型首先将函数化简为：y=Asin（ωx+φ）的形式后进行解题．